СтудЗона - огромная база рефератов, курсовых и шпаргалок на все случаи жизни!

 
 


Лепреконы. Глаз Одина - геолокационная текстово-графическая для telegram
с элементами РПГ
в жанре Diablo, Покемон Го





Бот знакомств в telegram
@youlove_bot

Контрольная работа по Методам оптимизации

Предмет: Методы оптимизации
Оцените материал
(0 голосов)

 Задача 1.

1.6. Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».
Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию.
Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного наименования должно быть не более 5000 штук.
По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1$; «Дикси – В» - 0,9$.
Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение
Пусть X1 – кол-во акций «Дикси-Е»,
X2 – кол-во акций «Дикси-В».
Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:


Вид дохода Наименования акций Запас средств Дикси-Е Дикси-В Стоимость 1 акции 5 3 25000 Прибыль от инвестиции акций в следующем году 1,1 0,9 Рекомендации Х1 Х2

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:


Ограничения по необходимому максимуму кол-ва акций:


Для получения решения графическим методом строим прямые:


X1 5000 200 X2 0 8000






Решением является замкнутый многоугольник ОАВС любая точка этого многоугольника внутри и на границе является решением или рекомендацией допустимой задачи.
Чтобы из бесконечности множества возможных рекомендаций найти ту или те которые достаточны для функции цели max значение.
Надо найти расположение всех точек в которых функция цели принимает одно какое-нибудь определенное значение, т.е. строим линию равных значений (линия уровня) , все линии уровня параллельны между собой поэтому проведем еще одну параллельную через точку (0,0).
Х1 Х2 0 6667 5455 0
Построим векто-градиент перпендикулярный линии уровня , и двигаться в направлении вектора-градиента до крайней точки через которую он «покидает» многоугольник системы ограничений.


Точка С (3500;2500)


Если решать задачу на min то надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения.

Ответ: максимальная прибыль в следующем году: 6100$
При покупке акций Дикси-Е (Х1)=3500 (шт.), Дикси-В (Х2)=2500 (шт.).


Задача 2

2.6. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид сырья Наименование расхода сырья на ед. продукции Запасы сырья А Б В
I
II
III

18
6
5
15
4
3
12
8
3
360
192
180 Цена изделия 9 10 16
Требуется:
1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 4,5 кг, а II – уменьшить на 9 кг;
- оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.

Решение

1) Пусть необходимо изготовить х1 единиц продукции A, х2 единиц продукции Б и х3 единиц продукции В. Прямая оптимизационная задача на максимум выручки от реализации готовой продукции имеет вид:

просмотреть полностью


Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:

A B C D E F 3 X1 X2 X3 4 Значения переменных 0 0 0 ЦФ 5 Коэф. целевой ф-ии 9 10 16 =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В5:D5) 6 7 Ограничения Левая часть Правая часть 8 I 18 15 12 =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В8:D8) 360 9 II 6 4 8 =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В9:D9) 192 10 III 5 3 3 =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В10:D10) 180
Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:


В результате будет получена следующая таблица:

2 A B C D E F 3   X1 X2 X3     4 Значения переменных 0 8 20 ЦФ   5 Коэф. целевой ф-ии 9 10 16 400   6             7 Ограничения       Левая часть Правая часть 8 I 18 15 12 360 360 9 II 6 4 8 192 192 10 III 5 3 3 84 180
Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц продукции А, 8 единицы продукции Б и 20 единиц продукции В.

2) Строим двойственную задачу в виде:

Запишем двойственную задачу:


Найдем решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:

Так как третье неравенство выполняется как строгое, то у3 = 0
Так как х2 ≠ 0 и х3 ≠ 0, то получаем систему уравнений:

Решение системы: y1=2/9, y2=5/3, y3=0.

3) В прямой задаче Х1=0, так как при достаточно высоких затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.
В двойственной задаче у3=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.
4) а) Наиболее дефицитным является II вид сырья, так как его двойственная оценка (у2 = 5/3) является наибольшей.
б) При увеличении запасов сырья I вида на 45 кг. и уменьшении запасов сырья II вида на 9 кг. изменение выручки составит:
2/9*45–5/3*9 = -5 ден.ед.
И она будет равна: 400-5 = 395 ден.ед.

Определим изменение плана выпуска аз системы уравнений:

То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:
X1=0 X2=11 X3=20 max f(x) = 395 (ден.ед)
в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.
Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:

Так как затраты на производство изделия меньше, чем его стоимость (∆ = 8 < 11), то включение в план изделия Г целесообразно, так как оно принесет дополнительную прибыль.

Ответ: =400 ден.ед, включение в план изделия Г целесообразно.

Задача 4

Задача 4.6. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

Номер варианта Номер наблюдения (t=1,2,...,9) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 12 15 16 19 17 20 24 25 28
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель Ŷ(t)=a0 +a1 t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a0 +a1 k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.
4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).
7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение

1) Методом Ирвина проверим анамальность ряда, где λ должна быть ≥1,6 для нормального ряда.

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул:

Построим следующий ряд:

y(t)2=B2^2
λ(y) =D3/$B$13
σy=((9*E11-B11^2)/72)^0,5
Анамальных наблюдений во временном ряду нет.

2) Построим линейную модель вида Yр(t) = a0 + a1t
Параметры а0 и а1 можно найти методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:

А также с использованием настройки MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

Затем используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных»


Средствами MS Excel получена следующая линейная модель: Yp(t) = 1,85 t + 10,30

Построим график эмпирического и смоделированного рядов:


3) Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза:

используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:


а) Примем а = 0,4, тогда В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а0 = 11,6; а1 = 1,4.
Расчет проведем с помощью MS Excel в результате получим следующую таблицу:

t y(t) ao(t) a1(t) yp(t) e(t) 0 11,6 1,4 1 12 12,09 0,76 13 -1 2 15 14,226 2,7165 12,85 2,15 3 16 16,08483 1,858825 16,9425 -0,9425 4 19 18,90493 2,820104 17,94365 1,05635 5 17 17,42525 -1,47968 21,72503 -4,72503 6 20 19,6351 2,209849 15,94558 4,054423 7 24 23,80605 4,170944 21,84495 2,155049 8 25 25,26793 1,461883 27,97699 -2,97699 9 28 27,88568 2,617754 26,72981 1,270188
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:


б) Примем а = 0,7, тогда . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а0 = 11,6; а1 = 1,4. Получим следующую таблицу:
t y(t) ao(t) a1(t) yp(t) e(t) 0   11,6 1,4     1 12 12,09 0,49 13 -1 2 15 14,7822 2,6922 12,58 2,42 3 16 16,1327 1,350496 17,4744 -1,4744 4 19 18,86349 2,73079128 17,48319 1,516808 5 17 17,41349 -1,45000221 21,59428 -4,59428 6 20 19,63671 2,223228387 15,96348 4,036517 7 24 23,80739 4,170681309 21,85994 2,140058 8 25 25,26803 1,460632081 27,97808 -2,97808 9 28 27,88558 2,617552457 26,72866 1,271341
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:



Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром а =0,4.

4) Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:


Et=B2-G2
Е(т)^2=H2^2
E((t)-E(t-1))^2=(H3-H2)^2
E(t)-E(t-1) =H3-H2
мод Е(т) =ABS(H2)
Е(т)/у=L2/B2
Так как сумма Ет =0.004 = 0 то гипотеза Но:М(е)=0 подтверждается.

• Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле:

Так как для данной модели р = 6 > 2, то условие выполнено.

• Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях. Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d- статистику) по формулам:

d=2,03383658
d'=4–2,03383658=1,96616342

Критические значения статистики: d1kp=1,08 и d2kp=1,36;
d и d'>1,36 поэтому уровни остатков не зависимы

• Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS - критерий:

Se=((9*(I11-H11^2)/72)^0,5)=1,2685
=(1,294-(-2,556))/1,2685=3,04
(2,7;3,7), т.е. 3,04(2,7;3,7), значит модель адекватна.

5) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:

6) Строим прогноз по построенным моделям:
точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста -экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:

Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:
Yn+1=10,30+1,85(9+1)=28,806
Yn+2=10,30+1,85(9+2)= 30,656

Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7
Доверительный интервал:

Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; ν = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119

7) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу:

2