СтудЗона - огромная база рефератов, курсовых и шпаргалок на все случаи жизни!

 
   

Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» Вариант №20

Предмет: Экономика
Оцените материал
(0 голосов)
просмотреть полностью

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант №20

Ярославль 2009

Задание I.

Таблица 1

Значения исходных данных

t

y

1

50

2

52

3

54

4

59

5

57

6

60

7

63

8

68

9

70

1) определить наличие тренда Y(t);

2) построить линейную модель , параметры которой оценить с помощью МНК;

3) оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

· случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

· независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни и ) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;

· нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;

4) для оценки точности модели использовать среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;

5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности Р=70% используйте коэффициент ;

Решение.

1. Определение наличия тренда Y(t)

Динамический ряд Y(t) является временным, так как изменение экономического показателя Y происходит в зависимости от времени t.

Если во временном ряду проявляется длительная тенденция изменения экономического показателя, то в этом случае говорят о наличии тренда.

Под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, т.е. основная тенденция изменения временного ряда.

Для определения тренда в исходном временном ряду применяем метод проверки разностей средних уровней. Разобьем динамический ряд Y(t) на две части, каждая из которых представляет собой самостоятельную выборочную совокупность, имеющую нормальное распределение:

(Y1Y4) – n1 = 4,

(Y5Y9) – n2 = 5,

где Y1Y5 - уровни ряда;

n1, n2 - число уровней ряда.

Таблица 2

Группы динамического ряда

t

y

1

50

2

52

3

54

4

59

t

y

5

57

6

60

7

63

8

68

9

70

Принимаем нулевую гипотезу о равенстве средних уровней двух нормально распределенных совокупностей. По каждой части ряда рассчитаем значение среднего уровня и дисперсию.

Значения средних уровней рассчитаем по формулам:

,.

;

Дисперсии ля каждой части ряда рассчитаем по формулам:

, .

.


Проверяем однородность дисперсии для первой и второй групп наблюдения. Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:

; .

По таблице «Значения F-критерия Фишера при уровне значимости a = 0,05» определяем табличное значение критерия Фишера . Поскольку ( 0,5>0,1, дисперсии не однородны (статистически не равны),т.е. различаются значительно, и расхождение между ними носит закономерный характер.

Проверяем гипотезу о равенстве средних уровней (отсутствие тренда): .

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение для всего ряда по формуле:

, .

Рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:

,

По таблице «Значения t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05» на основе заданной вероятности 0,95 и числа степеней свободы n-2 (9-2=7) определяем табличное значение t-критерия Стьюдента: . Расчетное значение превышает табличное, следовательно нулевая гипотеза отвергается.

Определение наличия тренда в исходном временном ряду можно осуществить с помощью Пакета анализа данных в MS Excel

Производим ввод исходных данных. На основании исходных данных строим поле корреляции и добавляем линию тренда (рис.1):

  • в главном меню выбираем, Вставка/Диаграмма и строим поле корреляции;
  • в области построения диаграммы выделяем график, нажимаем правую кнопку мыши и из контекстного меню выбираем команду Добавить линию тренда;
  • в диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип выбираем Линейная, на вкладке Параметры выбираем Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации .

Рис.1. Определение наличия тренда.

Из графика динамического ряда Y(t) видно наличие возрастающей тенденции, что может свидетельствовать о возможности существования линейного тренда.

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяем метод проверки разностей средних уровней, для чего разбиваем динамический ряд Y(t) на две самостоятельно выбранные совокупности (Рис. 2).

С помощью Пакета анализа данных в MS Excel определяем F-критерий Фишера и проводим двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.

Для этого:

· в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/ Двухвыборочный F-тест для дисперсии (рис.2). Щелкаем по кнопке ОК.

· заполняем формы в диалоговом окне Двухвыборочный F-тест для дисперсии (рис. 3): интервал переменной 1 - $B$3:$В$6 , интервал переменной 2 -$В$7:$В$11; уровень значимости Альфа 0,05. Щелкаем ОК.

Получаем результаты расчета Двухвыборочного F-теста для дисперсии (табл. 3).

Рис.2. Анализ данных Двухвыборочный F-тест для дисперсии.

Рис. 3. Двухвыборочный F-тест для дисперсии

Таблица 3

Двухвыборочный F-тест для дисперсии

Переменная 1

Переменная 2

Среднее

53,75

63,6

Дисперсия

14,91666667

29,3

Наблюдения

4

5

df

3

4

F

0,509101251

P(F<=f) одностороннее

0,3029232

F критическое одностороннее

0,109683011

Сравниваем значение F=0,509 c критическим значением F=0,109 т.к. F=0,509 больше, чем F критическая, то дисперсия не однородная.

Аналогично с помощью Пакета анализа данных в MS Excel проводим двухвыборочный

t-тест с одинаковыми дисперсиями:

· в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис.4). Щелкаем по кнопке ОК.

Рис.4. Анализ данных Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.

· заполняем формы в диалоговом окне Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис.5): интервал переменной 1-$В$3:$В$6, интервал переменной 2 - $В$7:$В$11; уровень значимости Альфа 0,05. Щелкаем по кнопке ОК.

Рис. 5 Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

Сравниваем средние значения полученные в двух группах.

Таблица 4

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

Переменная 1

Переменная 2

Среднее

53,75

63,6

Дисперсия

14,91666667

29,3

Наблюдения

4

5

Объединенная дисперсия

23,13571429

Гипотетическая разность средних

0

df

7

t-статистика

-3,052730863

P(T<=t) одностороннее

0,009255944

t критическое одностороннее

1,894578604

P(T<=t) двухстороннее

0,018511887

t критическое двухстороннее

2,364624251

Вывод: рассчитанное значение t-критерия по модулю приблизительно равно 3, а табличное значение t-критерия Стьюдента равно приблизительно 2,36. Расчетное значение больше табличного, и среднее значение в группах отличается существенно друг от друга, т.е. признается наличие тренда.

2. Построение линейной модели

Линейная модель регрессии описывается уравнением вида:

,

где - постоянная величина (свободный член уравнения);

- коэффициент регрессии.

Построение этой модели сводится к определению параметров и по существующим исходным данным.

Классический подход при определении параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений от расчетных была бы минимальной:

,

Таким образом, решается задача оптимизации:

и .

Исходя из этих двух условий, получается система нормальных уравнений:

.

Откуда

где - средние значения;

- текущие значения;

n - число уровней ряда.

Построим линейную модель регрессии .

Получим параметры линейной модели регрессии с помощью инструмента Регрессии Пакета анализа данных в MS Excel.

Для этого:

· в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/ Регрессия (рис. 6). Щелкаем по кнопке ОК.

· заполняем формы в диалоговом окне Регрессия (рис.7): входной интервал Y - $C$3$C$11, входной интервал Х - $В$3$В$11; параметры вывода – Новый рабочий лист; в поле Остатки ставим необходимые флажки. Щелкаем по кнопке ОК.

Рис.6. Анализ данных.

Рис.7. Регрессия

Получаем результаты расчета Регрессии (таблица5).

Таблица 5

Регрессионная статистика

Множественный R

0,976677712

R-квадрат

0,953899353

Нормированный R-квадрат

0,947313546

Стандартная ошибка

1,576866493

Наблюдения

9

Дисперсионный анализ

F-табличное:

5,591447848

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

360,15

360,15

144,8416853

6,23516E-06

Остаток

7

17,40555556

2,486507937

Итого

8

377,5555556

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Нижние 95,0%

Верхние 95,0%

Y-пересечение

46,97222222

1,145566948

41,00347194

1,33788E-09

44,26338684

49,68105761

44,26338684

49,68105761

t

2,45

0,203572589

12,03501912

6,23516E-06

1,96862732

2,93137268

1,96862732

2,93137268

Верхние 95%

Нижние 95,0%

Верхние 95,0%

49,68105761

44,26338684

49,68105761

2,93137268

1,96862732

2,93137268
























Вывод: полученная модель имеет вид

3. Оценка адекватности уравнения модели.

Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна. Под адекватностью понимается соответствие модели исследуемому процессу, т.е. наблюдается соответствие значений определенных по кривой роста, фактическим данным .

Модель является адекватной, если значения остаточной последовательности удовлетворяют ряду требований:

· значения остаточной последовательности должны быть случайными величинами;

· значения остаточной последовательности должны быть независимыми случайными величинами, т.е. не должно наблюдаться автокорреляции в остаточной последовательности.

· значение должны быть распределены по нормальному закону;

· Математическое ожидание значений остаточной последовательности должно быть близким к нулю.

а) оценка случайности остаточной компоненты по критерию пиков.

Для оценки случайности остаточной компоненты построенной модели исследуем ряд остатков отклонений расчетных значений от фактических . Для этого проведем предварительные расчеты, результаты которых приведены в таблице 6.

Таблица 6

Расчет остатков регрессионной модели

Число пиков

1

50

49,42222222

0,577777778

0,33382716

-

-

2

52

51,87222222

0,127777778

0,01632716

0,2025

0

3

54

54,32222222

-0,322222222

0,10382716

0,2025

1

4

59

56,77222222

2,227777778

4,962993827

6,5025

1

5

57

59,22222222

-2,222222222

4,938271605

19,8025

1

6

60

61,67222222

-1,672222222

2,79632716

0,3025

0

7

63

64,12222222

-1,122222222

1,259382716

0,3025

0

8

68

66,57222222

1,427777778

2,038549383

6,5025

1

9

70

69,02222222

0,977777778

0,956049383

0,2025

-

Итого

2,227777778

17,40555556

34,02

4

Определим количество поворотных точек, т.е. таких точек, значение уровня в которых одновременно больше соседних с ним или наоборот, одновременно меньше предыдущего и последующего за ним уровня.

Введем обозначения: 1 – точка поворота; 0 – отсутствие точки поворота.

Из расчета (таблица 6) и графика остатков (рис.8) видно, что количество поворотных точек р=4.

Рис. 8. График остатков.

Критическое число поворотных точек определяется по формуле:

,

Вывод: т.к. фактическое значение поворотных точек р=4 больше, чем критическое значение ркрит=2, то значения остаточной последовательности можно считать случайными величинами. Модель по критерию случайности адекватна.

б) оценка независимости уровней ряда остатков по d-критерию.

Процедура представляет проверку отсутствия автокорреляции в остаточной последовательности и осуществляется по d-критерию Дарбина-Уотсона:

,

По данным таблицы 6:

Вывод: т.к. D>1,08 то можно считать, что модель по данному критерию адекватна.

в) оценка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию.

Метод проверки нормальности распределения остаточной компоненты основан на R/S-критерии. Значение этого критерия численно равно отношению размаха случайной величины R к стандартному отклонению :

где

и -максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

- среднеквадратическое отклонение;

- среднее значение ряда остатков;

n - количество уровней ряда.

Берем значения из таблицы 6: =2,23 ,

Тогда

Найдем R==2,23-(-2,22)=4,45

Так как R/S=3,017[2,7 - 3,7], то модель адекватна по R/S-критерию.

Общие выводы:

- линейная трендовая модель является адекватной фактическому ряду динамики;

- модель может быть использована для построения прогнозных оценок.

4. Оценка точности модели.

Точность модели характеризуется величиной отклонения фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем, с использованием трендовой модели.

В качестве статистических показателей точности применяются среднеквадратическое отклонение и средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации.

Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле:

Так как , то из таблицы 6 видно, что.

Тогда .

Средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации определяется по формуле . Получаем . Таким образом .

Вывод: модель имеет достаточную точность и может быть использована для оценочных расчетов прогноза.

5. Точечный и интервальный прогнозы

Для периода упреждения на шаг вперед

Для периода упреждения на шага вперед

Подставив найденные значения в линейную модель , получим точечные прогнозные значения:

.

Интервальный прогноз рассчитывается по формуле:

где доверительный интервал

.

Тогда при табличном значении критерия Стьюдента

для

для .

Интервальный прогноз на два шага вперед при уровне вероятности P = 70%

,

Результаты прогнозных оценок по модели представлены в таблице 7.

Таблица 7

Прогнозные оценки по уравнению регрессии

Нижняя граница

Верхняя граница

10

1

71,47

69,584

73,606

11

2

73,92

71,623

76,217

Результаты прогнозирования с помощью инструмента Регрессии Пакета анализа данных в MS Excel представлены в табл.8 и на рис.9

Таблица 8

5. Построить точечный интервальный прогноз на два шага вперед.

Время t

Шаг k

Прогнозы Yp(t)

Нижняя граница

Верхняя граница

10

1

71,47222222

69,72190042

73,22254403

11

2

73,92222222

72,17190042

75,67254403

дельта:

1,750321807

Рис.9. Прогнозирование по линейной модели

Задание II

Таблица 9

Исходные данные:

1

50

25

75

2

52

27

77

3

54

30

73

4

59

31

70

5

57

35

66

6

60

41

63

7

63

42

67

8

68

45

63

9

70

47

61

1. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции с и , выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной ;

2. Построить линейную однопараметрическую модель регрессии ;

3. Оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;

4. Для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и -коэффициент;

5. Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности Р=70% использовать коэффициент ). Прогнозные оценки фактора на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня.

Решение.

1. Матрица коэффициентов парной корреляции с и

На основании анализа матрицу коэффициентов парной корреляции определяют взаимную зависимость переменных.

Выборочный парный линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

.

Промежуточные результаты расчетов для коэффициентов приведены в таблице 10.


Таблица 10

Рабочая таблица для вычисления коэффициентов корреляции

1

50

25

118,570321

85,045284

100,418358

75

44,448889

-61,483074

2

52

27

79,014321

52,157284

64,196358

77

75,116889

-62,593074

3

54

30

34,680321

27,269284

30,752358

73

21,780889

-24,371074

4

59

31

23,902321

27,269284

1,085358

70

2,778889

-0,370074

5

57

35

0,790321

4,937284

1,975358

66

5,442889

5,183926

6

60

41

26,122321

0,605284

3,976358

63

28,440889

-4,149074

7

63

42

37,344321

14,273284

23,087358

67

1,776889

-5,036074

8

68

45

83,010321

77,053284

79,976358

63

28,440889

-46,813074

9

70

47

123,454321

116,165284

119,754358

61

53,772889

-79,035074

Сумма

533

323

526,8889

404,7756

425,2222

615

262

-278,667

Среднее

59,222

35,889

-

-

-

68,333

-

-

СКО

7,113

8,115

-

-

-

5,723

-

-


Тогда коэффициенты корреляции

Вычислим коэффициент . Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 11

Таблица для вычисления коэффициента корреляции

1

25

75

118,570321

44,448889

-72,596963

2

27

77

79,014321

75,116889

-77,040963

3

30

73

34,680321

21,780889

-27,483963

4

31

70

23,902321

2,778889

-8,149963

5

35

66

0,790321

5,442889

2,074037

6

41

63

26,122321

28,440889

-27,256963

7

42

67

37,344321

1,776889

-8,145963

8

45

63

83,010321

28,440889

-48,588963

9

47

61

123,454321

53,772889

-81,476963

Сумма

323

615

526,8889

262

-348,667

Таким образом

Запишем матрицу коэффициентов парной корреляции:

Таблица 12

матрица коэффициентов парной корреляции

1

0,921

-0,856

0,921

1

-0,938

-0,856

-0,938

1

Построим матрицу коэффициентов парной корреляции с помощью Пакета анализа данных в MS Excel. Для этого:

· В главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Корреляция. Щелкаем по кнопке OK.

· Заполняем формы в диалоговом окне Корреляция: входной интервал - $B$3:$D$11, выходной интервал $A$13. Щелкаем по кнопке OK.

Анализ матрицы парной корреляции показывает, что фактор наиболее тесно связан с зависимой переменной , так как (по модулю) ( 0,921>0,856) , т.е. наиболее близок к 1.

2. Построение линейной однопараметрической модели регрессии

Построим линейной однопараметрической модели регрессии для :

Так как данная модель линейна относительно параметров и , то для их оценки применим метод наименьших квадратов. Тогда

, , , , , ,

где , , , - средние значения;

, - текущие значения;

- число уровней ряда.

Результаты предварительных расчетов приведены в таблице 13.

Таблица 13

Рабочая таблица для расчета параметров регрессии.

1

50

25

1250

625

2

52

27

1404

729

3

54

30

1620

900

4

59

31

1829

961

5

57

35

1995

1225

6

60

41

2460

1681

7

63

42

2646

1764

8

68

45

3060

2025

9

70

47

3290

2209

Сумма

533

323

19554

12119

Среднее

59,222

35,889

2172,667

1346,556

Определим коэффициент регрессии

Определим значение постоянной величины

Уравнение регрессии имеет вид: .

Получим параметры линейной модели парной регрессии с помощью Пакета Регрессия в MS Excel. Для этого:

· В главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/ Регрессия. Щелкаем по кнопке OK (рис.10).

Рис.10 Анализ данных

· Заполняем формы в диалоговом окне Регрессия: входной интервал - $B$3:$B$11, - $C$3:$C$11 выходной интервал $A$63; в поле Остатки ставим необходимые флажки. Щелкаем по кнопке OK (рис.11).

Рис. 11 Регрессия

Получаем результата расчета Регрессия (таблица 14).

Таблица 14

Параметры регрессии, полученные в Excel

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение

30,25832982

3,543022432

8,540259172

X1

0,807043442

0,096552109

8,35863091

Во втором столбце табл.14 содержатся коэффициенты уравнения регрессии и . В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, в четвертом столбце – t –статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии имеет вид:

3. Оценка адекватности и точности линейной

однопараметрической модели регрессии

Для оценки адекватности и точности линейной однофакторной модели регрессии необходимо убедиться в следующем:

· в адекватности вида уравнения модели;

· в статистической значимости модели регрессии в целом (F – критерий Фишера);

· в статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции;

· в точности модели (в качестве меры точности используются оценки значения ошибок).

3.1. Оценка адекватности уравнения модели

Уравнение модели является адекватным, если:

а) математическое ожидание значений остаточного ряда равно или близко

нулю (t – критерий Стьюдента);

б) значения остаточного ряда случайны (критерий пиков);

в) значения остаточного ряда независимы (d – критерий Дарбина-Уотсона);

г) значение распределены по нормальному закону (R/S – критерий).

а) t – критерий Стьюдента

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки статистической гипотезы . С этой целью находим t – критерий Стьюдента:

где и -максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

- среднеквадратическое отклонение;

- среднее значение ряда остатков;

- текущие значения уровней ряда остатков;

n - количество уровней ряда.

Промежуточные результаты расчетов, выполненных для t–критерий Стьюдента, а также для остальных критериев адекватности, приведены в таблице 15.

Среднеквадратическое отклонение:

t – критерий Стьюдента:

Так как расчетное значение t – критерия Стьюдента меньше табличного значения , то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания значений остаточного ряда выполняется. Модель адекватна по t-критерию Стьюдента.

б) Оценка случайности остаточной компоненты по критерию пиков

Из расчетов (табл.15) и графика остатков (рис.12) видно, что количество поворотных точек p = 4.

Рис. 12. График остатков


Таблица 15

Промежуточные расчеты для статистических критериев

Точка

поворота

1

50

25

50,43441586

-0,434415858

-

0,189

-

-

-

-0,434

0,189

2

52

27

52,04850274

-0,048502741

1

0,002

0,386

0,148996

0,021

-0,049

0,002

3

54

30

54,46963307

-0,469633066

1

0,221

-0,421

0,177241

0,023

-0,470

0,221

4

59

31

55,27667651

3,723323492

1

13,863

4,193

17,581249

-1,749

3,723

13,863

5

57

35

58,50485027

-1,504850274

0

2,265

-5,228

27,331984

-5,603

-1,505

2,265

6

60

41

63,34711092

-3,347110924

1

11,203

4,852

23,541904

-5,036

-3,347

11,203

7

63

42

64,15415437

-1,154154365

0

1,332

2,193

4,809249

3,863

-1,154

1,332

8

68

45

66,57528469

1,42471531

0

2,03

2,579

6,651241

-1,644

1,425

2,03

9

70

47

68,18937157

1,810628427

-

3,278

0,386

0,148996

2,58

1,811

3,278

Сумма

533

323

0

4

34,383

80,39086

-7,545

34,383

Среднее

59,222

35,889

0


Критическое число поворотных точек определяется по формуле:

,

Так как фактическое значение поворотных точек р=4 больше, чем критическое значение , то значения остаточной компоненты можно считать случайными величинами. Модель по критерию случайности адекватна.

б) Оценка независимости уровней ряда остатков по d-критерию.

Процедура представляет проверку отсутствия автокорреляции в остаточной последовательности и осуществляется по d-критерию Дарбина-Уотсона:

,

По данным таблицы 15:

Т.к. не попадает в промежуток , то можно считать, что в остаточной последовательности наблюдается автокорреляции и значения являются зависимыми случайными величинами. Модель не адекватна по d- критерию Дарбина-Уотсона.

г) Оценка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию.

Метод проверки нормальности распределения остаточной компоненты основан на R/S-критерии. Значение этого критерия численно равно отношению размаха случайной величины R к стандартному отклонению :

где

- среднеквадратическое отклонение;

- среднее значение ряда остатков;

- текущие значения уровней ряда остатков;

n - количество уровней ряда.

Берем значения из таблицы 15: =3,723 , -3,347, 80,391

Тогда R==7,07

Так как R/S=2,23 [2,7 - 3,7], то модель не адекватна по R/S-критерию.

3.2. Статистическая значимость модели регрессии в целом

(F – критерий Фишера)

F – критерий Фишера применяется для установления истинности статистической гипотезы о том, что фактор регрессии действительно влияет на зависимую переменную или, точнее, действительно ли часть дисперсии переменной объясняется влиянием .

F – критерий Фишера рассчитывается по формуле:

,

где - коэффициент детерминации;

- число параметров при переменных, включенных в модель;

- количество уровней ряда.

Используя введенные ранее обозначения, коэффициент детерминации можно записать в виде:

Для однофакторной модели значение R совпадает с , определенным в пером пункте задания. Тогда, подставив значения , k = 1 (для линейной однофакторной модели) и n = 9, получим:

Табличное значение F – критерия при , степенях свободы и согласно [2, стр. 111]: .

Так как расчетное значение ( 39,053 > 5,59), то модель считается статистически значимой. Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемого фактора. В задаче вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора .

3.3. Статистическая значимость коэффициентов регрессии и корреляции

Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции проводится с помощью t – критерия Стьюдента путем сопоставления значений коэффициентов с величиной случайной ошибки :

, , .

, , .

Промежуточные результаты вычислений приведены в таблице 16.

Таблица 16

Рабочая таблица для определения ошибок коэффициентов модели

1

50

25

50,43441586

-0,434415858

0,189

-10,889

118,570321

2

52

27

52,04850274

-0,048502741

0,002

-8,889

79,014321

3

54

30

54,46963307

-0,469633066

0,221

-5,889

34,680321

4

59

31

55,27667651

3,723323492

13,863

-4,889

23,902321

5

57

35

58,50485027

-1,504850274

2,265

-0,889

0,790321

6

60

41

63,34711092

-3,347110924

11,203

5,111

26,122321

7

63

42

64,15415437

-1,154154365

1,332

6,111

37,344321

8

68

45

66,57528469

1,42471531

2,03

9,111

83,010321

9

70

47

68,18937157

1,810628427

3,278

11,111

123,454321

Сумма

533

323

-

-

34,383

-

526,8889

Среднее

59,222

35,889

-

-

-

-

-

Используя данные табл.16 и при получаем:

Значения t –статистик (по модулю):

, , .

Табличное значение t – критерия Стьюдента при и числе степеней свободы составляет 2,3646. Так как все фактические значения t –статистик превышают табличное значение, то коэффициенты регрессии и корреляции статистически значимы.

3.4. Оценка точности модели

В качестве меры точности модели регрессии применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, т.е. части дисперсии фактического явления, «необъясненную» включенными в модель факторами.

Стандартная ошибка оценки определяется по формуле:

где

- число факторов, включенных в модель (данном случае );

- количество уровней ряда.

Из таблицы 16 видно, что34,383

Тогда .

Средняя относительная ошибка аппроксимации (по модулю) определяется по формуле .

Промежуточные расчетные данные приведены в таблице 17.

Таблица 17

Рабочие расчеты для оценки точности модели

1

50

25

50,43441586

-0,434415858

0,009

2

52

27

52,04850274

-0,048502741

0,001

3

54

30

54,46963307

-0,469633066

0,009

4

59

31

55,27667651

3,723323492

0,063

5

57

35

58,50485027

-1,504850274

0,026

6

60

41

63,34711092

-3,347110924

0,056

7

63

42

64,15415437

-1,154154365

0,018

8

68

45

66,57528469

1,42471531

0,021

9

70

47

68,18937157

1,810628427

0,026

Сумма

-

-

-

-

0,229

Получаем . Таким образом .

Модель имеет достаточную точность и может быть использована для оценочных расчетов прогноза.

4. Коэффициент эластичности и b - коэффициент

Коэффициент эластичности (т.е. коэффициент, показывающий на сколько процентов изменится результат, если фактор изменится на 1%) в общем виде определяется как

,

где - первая производная функции .

Так как для линейной функции коэффициент эластичности зависит от значения фактора , то воспользуемся формулой среднего коэффициента эластичности:

Подставив вычисленные ранее значения, получим:

.

Стандартизированный b-коэффициент линейной регрессии определяется из общего уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

,

где , - стандартизированные переменные;

- стандартизированные коэффициенты регрессии, определяемые из системы уравнений:

……………………………………..

где , - парные коэффициенты корреляции.

Для однопараметрической (однофакторной) линейной модели система уравнений сводится к тождеству:

,

откуда значение b-коэффициента линейной однофакторной регрессии:

b-коэффициент можно определить также другим способом. По формуле связи между коэффициентами регрессии в стандартизированной и нормальной формах имеем:

,

где , - среднеквадратические отклонения.

Используя данные таблицы 10: , и известный параметр регрессии получим:

Тогда

5. Точечный и интервальный прогнозы

Прогнозируемое точечное значение переменной для периода упреждения на шагов вперед получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины фактора при , т.е.

Получим прогнозные оценки фактора на основе величины его среднего абсолютного прироста (САП):

,

.

Подставив соответствующие значения, получим:

Интервальный прогноз рассчитывается с помощью доверительного интервала по формуле:

,

где - средняя стандартная ошибка прогноза:

,

где

- стандартная ошибка оценки;

- табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости a и для числа степеней свободы .

Подставив известные (по условию задачи) значения , а также вычисленные ранее значения (пункт 3.4), и (табл.10), получим:

Результаты прогнозных оценок при уровне вероятности P = 70% по линейной однопараметрической модели регрессии представлены в таблице 18.

Таблица 18

Прогнозные оценки по линейной модели регрессии

Нижняя граница

Верхняя граница

10

1

70,406

67,418

73,394

11

2

72,626

69,481

75,771

Результаты прогнозирования с помощью инструмента Регрессии Пакета анализа данных в MS Excel представлены на рис.13

Рис.13. Результаты расчетов и прогнозирования

Список использованной литературы

1. Эконометрика. Программа. Методические указания по изучению дисциплины для студентов 4-го курса второго высшего образования, обучающихся по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет и аудит». –М.:ЗАО «Финстатинформ», 2001. -68с.

2. Эконометрика. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной и аудиторной работы на ПЭВМ для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика труда». –М.: Вузовский учебник, 2005. -122с.

3. Эконометрика: Учебник/ Про ред. И.И.Елисеевой. –М.: Финансы и статистика, 2005. – 576с.

4. Практикум по эконометрике: Учеб.пособие под ред. И.И.Елисеевой. –М.: Финансы и статистика, 2006. – 192с